Рис. 3
Упражнение 8. Постройте диаграммы Хассе всех 15 шестиэлементных решеток.
На любой решетке L зададим бинарные операции сложения + и умножения • формулами: a + b = sup(a, b) и ab = a • b = inf(a, b). (*)
Получаем алгебру (L, +, •>, в которой выполняются следующие четыре пары тождеств:
1) a + b = b + a, ab = ba (коммутативность операций);
2) (a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) (ассоциативность);
3) a + a = a, aa = a (идемпотентность);
4) a + ab = a, a(a + b) = a (законы поглощения).
Упражнение 9. Докажите свойства 1)-4) алгебры (L, +, •>, полученной из решетки L.
Имеет место и обратный переход. Если (L, +, •> - алгебра со свойствами 1)-4), то (L, #> будет решеткой, в которой a # b означает a + b = b (равносильно, ab = a); при этом справедливы формулы (*).
Упражнение 10. Докажите данное утверждение.
Упражнение 11. Проверьте, что в решетках неравенства можно почленно складывать и умножать: a < b и c < d влекут a + c < b + d и ac < bd.
Упражнение 12. Убедитесь, что в любой решетке выполняется тождество (ab + ac)(ab + bc) = ab.
Упражнение 13. Покажите, что в произвольной решетке верны неравенства ab + ac < a(ab + c) < a(b + c).
Упражнение 14. Наименьший элемент решетки обычно называется нулем и обозначается 0, а наибольший элемент решетки часто называется единицей и обозначается 1. Докажите, что нулевой элемент 0 (единичный элемент 1) произвольной решетки определяется любым из тождеств 0a = 0, 0 + a = a (соответственно: 1a = a, 1 + a = 1).
Определение 5. Полной решеткой называется упорядоченное множество, в котором любое непустое подмножество имеет точные верхнюю и нижнюю грани.
Любая полная решетка L является решеткой с 0 = inf L и 1 = sup L.
Укажем основные примеры полных решеток:
1) числовые отрезки [a, b], где a, b е R и a < b (пример 1);
2) булеаны B(M) для произвольных множеств M (пример 2);
3) решетка (N0, | ) (пример 4);
4) конечные решетки;
5) решетка всех подалгебр любой алгебры относительно включения с;
6) решетка всевозможных конгруэнций на произвольной алгебре с с;
7) решетка всех открытых (замкнутых) множеств любого топологического пространства.
Говорят, что отображение f: X^X множества X в себя имеет неподвижную точку x0 е X, если f(x0) = x0. В теории упорядоченных множеств изучаются неподвижные точки изотонных отображений упорядоченных множеств и решеток. Докажем теорему Тарского о неподвижной точке:
Теорема 2. Всякое изотопное отображение f любой полной решетки L в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку.
Доказательство. Рассмотрим в L подмножество A = {x е L: x < f(x)}. Положим x1 = sup A. Поскольку 0 е A, то sup A существует. Покажем, что f(x1) = x1. Так как x < x1 для всех x е A, то и x < f(x) < f(x1) для всех x е A. Поэтому f(x1) - верхняя грань множества A, и x1 < f(x1). Откуда f(x1) < f(f(x1)), т. е. f(x1) е A. Значит, и f(x1) < x1.
Заметим, что x1 является наибольшей неподвижной точкой отображения f. Наименьшая неподвижная точка x0 отображения f получается двойственным способом: x0 = inf B для B = {x е L: x > f(x)}. Множество F(f) = {x е L: f(x) = x} всех неподвижных точек отображения f совпадает с A n B.
Упражнение 15. Покажите, что множество F(f) не обязано быть подрешеткой решетки L.
Отметим также, что для решеток верна теорема Дэвиса, обратная теореме Тарского.
Упражнение 16. В классе упорядоченных множеств теорема Дэвиса неверна. Приведите соответствующий пример.
Дистрибутивные решетки и булевы решетки
Наиболее важными, часто применяемыми и потому лучше изученными видами решеток являются классы дистрибутивных и булевых решеток.
Определение 6. Решетка называется дистрибутивной, если в ней выполняется тождество a(b + c) = ab + ac. Класс всех дистрибутивных решеток, как и класс всех решеток, образует многообразие алгебр с двумя бинарными операциями. Более широкое многообразие образуют модулярные решетки, в которых выполняется модулярное тождество (вместо дистрибутивного тождества) a(ab + c) = ab + ac.
Сформулируем полезные критерии дистрибутивности решетки:
1. Произвольная решетка дистрибутивна тогда и только тогда, когда любая ее подрешетка не изоморфна ни пентагону, ни диаманту.
2. Дистрибутивность решетки эквивалентна выполнению в ней двойственного дистрибутивного закона: (a + b)(a + c) = a + bc.
Учебно-методическая работа
Поурочно-тематические планы по специальным общетехническим дисциплинам утверждаются на заседании методической комиссии. При их утверждении составляется протокол, который подписывается председателем методической комиссии. Данные планы представляют собой наименование тем, которые необходимо изучить, ...
Методические приемы, направленные на изучение законов и свойств
арифметических действий
Изучение законов и свойств арифметических действий мы рассматривали при изучении действий сложения и вычитания в концентре «Сотня». Рассмотрим, как происходило знакомство с законами и свойствами арифметических действий . Цель: воспроизведение ЗУН по порядку действий в числовом выражении, умение при ...
Опытное преподавание
Опытное преподавание осуществлялось в 2007 году в 9 «б» классе МОУ с УИОП п. Демьяново Подосиновского района. Перед тем, как проводить опытное преподавание, я изучила соответствующую математическую и методическую литературу. После чего были разработаны и проведены факультативные занятия в соответст ...
На протяжении всей человеческой истории люди пытались придумать способы, с помощью которых они могли бы по возможности прочно усвоить какие-либо знания. С древнейших времён тема и техника запоминания занимала пытливые умы, рассматривалась и систематизировалась великими людьми прошлого.