Решение задач с помощью составления уравнений в теме «Прямая и обратная пропорциональные зависимости»

За 3 ч поймали 12 карасей. Сколько карасей поймают за 4 ч?

Два петуха разбудили 6 человек. Сколько человек разбудят пять петухов?

Трое пошли – три гвоздя нашли. Четверо пойдут – много ли найдут?

До сих пор мы рассматривали задачи, в которых отношение двух неизвестных значений одной величины было целым числом. В следующих задачах оно часто выражается дробью. Как и раньше, здесь следует постоянно задавать вопрос: «Во сколько раз увеличилась (уменьшилась) величина?»

Из «Арифметики» А.П. Киселева. 8 аршин сукна стоят 30 р. Сколько стоят 15 аршин этого сукна?

Со скоростью 80 км/ч товарный поезд прошел 720 км. Какое расстояние пройдет за это же время пассажирский поезд, скорость которого 60 км/ч?

За одно и то же время токарь обтачивает 6 деталей, а его ученик – 4 детали.

Сколько деталей обточит ученик за то же время, за которое токарь обточит 27 деталей?

Сколько времени потратит ученик на задании, которое токарь выполняет за 1ч?

После изучения основных понятий в этих темах («Пропорции», «Прямая и обратная пропорциональности»), учащиеся решают соответствующие задачи.

Подготовительные упражнения

Рассмотрим некоторые подготовительные упражнения, которые можно давать учащимся, чтобы сформировать у них навыки и умения устанавливать зависимости между величинами.

1. Какую часть одно число составляет от другого?

а) 4 от 20; б) 7 от 15; в) 10 от 20; г) 13 от 21

2. Найдите отношения и придумайте отношения, значения которых равны заданным:

а) 25 к 5; б) 0,25 к 0,55; в) 1,37 к 1,3; г) 6 к 27

3. Что показывает отношение:

а) пути, пройденного автомобилем, ко времени его движения;

б) числа деталей ко времени из изготовления;

в) стоимости купленных апельсинов к их массе?

4. Дана пропорция, найти выражение, которое не является пропорцией, выведенной из данной:

1) а : 20 = 4 : 8

а : 4 = 20 : 8;

8 : 20 = 4 : а;

20 : а = 4 : 8;

20 : а = 8 : 4.

2) 8 : 21 = b : 30

b : 21 = 30 : 8;

8 : b = 21 : 30;

8 : 30 = b : 21;

8 : 21 = 30 : b.

Проверьте, используя основное свойство пропорции, следующие равенства. Какие из них являются пропорцией, а какие нет?

а) 4 : 3 = 36 : 26

б) =

в) 2 : 9 = 1 : 39

г) =

д) 3 : 7,5 = 2,5 : 6

Какова зависимость между:

временем и скоростью движения при постоянном пути?

количеством тракторов и числом дней, за которые они вспашут поле?

Установите зависимость:

За х кг апельсинов заплатили p рублей. Как изменится стоимость покупки, если массу апельсинов увеличили в 5 раз; уменьшили в 2 раза?

Расстояние от деревни до города велосипедист проехал за 3 часа.

За сколько часов это расстояние пройдет пешеход, скорость которого в 3 раза меньше скорости велосипедиста?

За сколько часов это расстояние пройдет мотоциклист, скорость которого в 5 раз больше скорости велосипедиста?

При решении этих задач учащиеся повторят, что такое отношение, как оно составляется, понятие пропорции, ее свойства, установление прямой или обратной пропорциональности между величинами.

Понятно, что если в задаче говорится о двух величинах, то краткая запись будет выглядеть следующим образом:

I вел. – II вел.

Изменение I вел. – II вел.

При этом проверяется зависимость первой величины от второй или наоборот. Если при увеличении / уменьшении первой величины в n раз, во столько же увеличится / уменьшится II величина, то это прямая пропорциональность.

Обозначение вводится с помощью стрелочек, которые «смотрят» в одну сторону.

I вел. – II вел.