Описательная статистика

Покажем, где на графике нормальной кривой располагается Стандартное отклонение. На нормальной кривой найдем точку, начиная с которой значения на вертикальной оси начинают изменяться быстрее, чем на горизонтальной. Это – точка перелома. На горизонтальную ось опустим перпендикуляр из точки перелома (см. рис. 8.8). Расстояние между точкой пресечения перпендикуляра с осью и средним и есть Стандартное отклонение.

Стандартное отклонение является характеристикой для нормальной кривой, и теперь любое другое значение может быть выражено в единицах Стандартного отклонения. Можно показать, что по обе стороны от среднего в пределах 1 Стандартного отклонения находится 34% значений, между 1-м и 2-м Стандартным отклонением – 13,3% значений с каждой стороны. А между 2-м и 3-м, соответственно 2,15%.

Таким образом, если ряд нормально распределен, то, зная стандартное отклонение, можно найти значение любого из элементов, зная, как далеко он находится от среднего в единицах Cтандартного отклонения.

Напротив, зная результат, показанный отдельным респондентом, можно оценить его успешность, сравнивая его со средним, или применяя единицы Стандартного отклонения. Так, если результат лежит точно на линии + 1 Стандартное отклонение, то это значит, что не меньше 84% результатов будут хуже данного. Таким образом, имея в распоряжении среднее и Стандартное отклонение, всегда можно от единиц Стандартного отклонения перейти к процентам и определить, сколько результатов в данном исследовании хуже или лучше данного. Это один из самых важных выводов, который позволяет сделать применение нормального распределения.

Нормальная кривая и нормальные параметры

“Мы знаем, мы многое знаем Того, что не знают они!”

М. Цветаева

Исследователю часто необходимо знать, как соотносятся результаты, показанные одним из испытуемых, с результатами остальных. Для проведения такого рода анализа необходимо перейти от абсолютных методов оценки результатов к относительным, то есть сравнительным. Существует два метода подобной оценки – эквивалентный и метод процентного сравнения. О них речь шла раньше, а еще один метод – метод стандартных чисел будет рассмотрен здесь.

Различают два наиболее широко используемых параметра: Z-параметр и T-параметр. Z-параметр является наиболее доступным и простым для вычисления. Он показывает, как далеко находится какой-либо результат от среднего для данного исследования в единицах Стандартного отклонения. Шкала Z-параметров строится так, что за 0 принимается значение, лежащее на горизонтальной оси нормального распределения и совпадающее со средним для данного распределения. Масштабная единица Z-параметра равна одному Стандартному отклонению, причем вправо от “0” Z-параметр возрастает, а влево от “0” убывает в область отрицательных значений. Пусть для некого распределения среднее равно 50, а Стандартное отклонение. равно 2. Тогда, для значения 52 Z-параметр будет равен 1, а для значения 46 – соответственно – 2. Важность Z-параметра заключается в том, что с его помощью можно сравнивать успешность результата одного и того же испытуемого в различных исследованиях.

Пусть один и тот же респондент получил результат 60 баллов в тесте по биологии и 80 баллов в тесте по химии. На первый взгляд может показаться, что испытуемый лучше успевает по химии, чем по биологии. Но на самом деле никаких выводов нельзя делать до тех пор, пока мы не сравним эти результаты с остальными. Для чего нам необходимо знать средние результаты и стандартные отклонения для каждого из тестов. Оказалось, что в тесте по биологии среднее 50, а в тесте по химии 90. Стандартное отклонение для каждого из них соответственно 5 и 10. С учетом этих данных оказывается, что результат по химии имеет Стандартное отклонение –1, а по биологии +2. Это значит, что только 2% учащихся показали в тесте по биологии результат выше, чем 60. А в тесте по химии наш испытуемый оказался в отстающих – 84% учеников справились с этим тестом лучше. Сказанное иллюстрирует таблица: