Описательная статистика

Для исследователя средняя величина – это центр распределения: она занимает центральное место в общей массе варьирующих значений признака.

Усреднения помогут исследователю описывать зависимости и распределения, содержащие большое количество данных, небольшим количеством параметров.

Существуют несколько видов средних величин. Применяемые в социальных науках делятся на параметрические (степенные) и непараметрические (порядковые). Параметрические средние величины функционально связаны с распределением варьирующих свойств, тогда как непараметрические (порядковые) средние величины функциональной связи с распределением признаков не имеют . К ним мы должны отнести медиану, моду и некоторые другие показатели.

В педагогической диагностике мы чаще всего имеем дело с тремя наиболее часто используемыми усреднениями – средней арифметической, модой и медианой. Целесообразность использования того или иного усреднения определяется как правило условием параметра.

Мода

“И среди этой безмерности все мысли исчезают”.

Дж. Леонарди

Мода – значение параметра, которое встречается в распределении наибольшее количество раз. Это самое часто встречающееся значение.

Для примера найдите моду такого распределения:

25, 20, 19, 17, 16, 16, 16, 14, 14, 11, 10, 9, 9

Мода такого распределения равна 16, так как значение 16 встречается наибольшее количество раз – три.

В распределении 25, 24, 24, 23, 22, 20, 19, 19, 18, 11, 10 имеется две моды – 24 и 19. Поэтому оно называется бимодальным. Мода не очень много говорит нам о характере распределения, обращая нас только к одному, хотя и наиболее часто встречающемуся значению. Поэтому её редко называют при исследовании распределений.

Медиана

“Разве не видишь ты путь к тому,

что мы завтра отыщем.

Звездные руны проснулись.”

Н. Рерих

Медиана – это точка в ряду значений элементов распределения, выше и ниже которой лежит по 50% значений элементов ряда. Иначе говоря, это средний (срединный) элемент распределения. Для распределений, имеющих нечетное количество элементов, медианой будет собственно серединный элемент: для ряда 5, 4, 3, 2, 1 медиана 3. В рядах, содержащих четное количество чисел, медианой будет среднее значение двух центральных элементов. В ряду 70, 74, 82, 86, 88, 90 медиана 84.

Таким образом, значение медианы не обязательно должно совпадать со значением какого-то из элементов ряда.

Так как медиана – только значение серединного элемента, то она не дает представления обо всех имеющихся в ряду значениях и кроме того на ее величине не сказывается наличие в ряду как экстремально высоких, так и экстремально низких значений. Таким образом два совершенно разных распределения могут иметь одинаковые медианы:

98, 90, 84, 82, 76

90, 87, 84, 65, 41

Оба ряда имеют медиану 84.

Может показаться, что вычисление медианы – примитивная арифметическая операция. Это так в случае, если значения элементов ряда не объединены в группы. В противном же случае вычисления заметно усложняются.

С медианой удобно работать когда данные представлены в ординальном, интервальном или рейтинговом виде.

Среднее арифметическое

“Срок ожидания, короткий он или длинный,

не имеет никакого значения

для успеха вашей картины”.

Жан Превер

Среднее – последняя из анализируемых здесь мер центральной тенденции (МЦТ). Причем, в отличие от моды и медианы на его значение оказывают влияние все элементы распределения.

Среднее, которое используется в описательных статистиках, определяется как среднее арифметическое – сумма значений всех элементов ряда разделенная на их количество.

Среднее для ряда 58, 62, 74, 86, 95 и 105 равно 80. Среднее получено делением 480 на 6, так как сумма значений элементов равна 480, и ряд состоит из 6-ти чисел.

В табл. 8.3 представлено некое распределение, и для него вычислены все три МЦТ. Как видно, значения их несколько разнятся.

Здесь – мода 62, медиана 64.5, а среднее 66.7. Мода, будучи наиболее часто встречающейся величиной, тем не менее, не совпадает со средним, которое, вероятно, все же лучше всего описывает характер распределения, учитывая все значения. Но и это описание не идеально, так как распределение искажено.

Мы приводим три графика, где изображены различные соотношения среднего, моды и медианы.

В первом случае среднее значение, мода и медиана совпадают, во-втором, значения моды и медианы меньше среднего значения. А в третьем случае – мода и медиана по своим значениям больше среднего.

Определяя МЦТ мы используем только операции сложения и усреднения, не обращая внимания на разброс значений, их пределы. Другими словами МЦТ не учитывают вариации, которые имеют место в распределении.