Описательная статистика

Какую из МЦТ все же лучше использовать? Это зависит от конкретного случая, от того, в каком виде представлена информация. Со всеми типами представления используют только среднее, из за чего оно часто и оказывается предпочтительнее. Однако на величину среднего оказывают большое значение экстремальные (большие или маленькие) значения элементов. При наличии в ряду экстремальных значений предпочтение отдается медиане. Например, если значение среднего арифметического равно 50, что может совершенно не отражать истинный характер распределения. На величину среднего оказывает влияние число, приведенное в последней строчке, “сдвигая” его в область высоких значений, медиана этого ряда равна 17, что более точно отражает общий вид распределения.

При сравнении МЦТ различных распределений можно анализировать применимость того или иного метода исследований.

Отклонения

“Они последовательно означали собою – начало,

и продолженье начала, и – приближенье конца”

Ю. Левитанский

Несмотря на полезность и важность МЦТ, для полной характеристики результатов исследований их не достаточно. Два распределения, имеющие одинаковые средние и медианы, могут существенно отличаться по другим параметрам. Сравним два ряда:

А) 19, 20, 25, 32, 39

В) 2, 3, 25, 30, 75

Среднее для обоих распределений 27 и медиана для обоих 25. Тем не менее, видно, что они существенно различаются. В распределении А значения расположены близко друг к другу и сконцентрированы вокруг среднего, а в ряду В гораздо более отстоят друг от друга. Таким образом, разница между этими распределениями заключается в их вариациях (ширине пределов значений). Вариации – это другой вид статистики. А значит они должны подлежать количественному анализу, то есть должны быть измерены. Две численные оценки вариаций, которые применяются наиболее часто – это измерение ранга и стандартного отклонения.

Ранг

“Стремлюсь забыть, что тайна некрасива”.

Н. Гумилев

Ранг представляет из себя разницу между максимальным и минимальным значениями, имеющимися в ряду. Как и мода, ранг определяется с привлечением малого количества элементов – всего двух, что определяет малую его точность, как характеристики отклонений. Но за счет этого же ранг можно использовать в качестве экспресс-метода.

Стандартное отклонение

“Вот пример зависимости правды от искусства, а не искусства – от наличья правды”.

И. Бродский

Именно с помощью стандартного отклонения чаще всего характеризуют вариации ряда. Как и среднее, стандартное отклонение привлекает к анализу все элементы ряда.

Алгоритм вычисления стандартного отклонения:

найти среднее в распределении;

составить новый ряд из разностей между средним и каждым из элементов исходного ряда;

возвести в квадрат каждый элемент составленного ряда;

просуммировать все эти квадраты;

разделить полученную сумму на количество элементов в ряду.

В результате этих вычислений вы получите вариацию. Квадратный корень из значения вариации и даст величину, которую называют Стандартным отклонением. Алгоритм может быть представлен формулой:

SD= , где

SD – Стандартное отклонение.

– сумма,

Х – текущее значение X,

N – общее число объектов исследования.

Процедура вычисления стандартного отклонения кажется намного более сложной, чем она есть на самом деле.

Вычислим для примера стандартное отклонение для такого ряда:

100

96

94

92

90

80

Сумма всех значений – 552

Сумма квадратов всех значений – 51016

Число значений – 6

Вычисляем по формуле и получаем SD = 6,81

Обратите внимание, что, чем больше разброс значений элементов ряда, тем больше Стандартное отклонение. Таким образом, зная Стандартное отклонение для двух рядов, например если Стандартное отклонение (А) = 2.7, а Стандартное отклонение (В) = 8.3, можно сказать, что элементы ряда В больше разбросаны.

Вычислив для ряда среднее и Стандартное отклонение можно полностью характеризовать его.

Имеет место интересное явление, связанное со Стандартным отклонением, которое заключается в том, что, если ряд попадает под нормальное распределение, тогда интервал “Стандартное отклонение” будет включать в себя более 99% значений элементов ряда. При N = 72 и Стандартном отклонении SD=3 99% значений элементов находится в интервале от 63 до 81.

“Эллипс крика на вылет пронзает молчание гор”

Гарсиа Лорка

Пространство, находящееся под нормальной кривой, охватывает все значения элементов, присутствующих в ряду. Для такого распределения значение среднего, медианы и моды совпадают, и значение среднего лежит точно посередине ряда, попадая, соответственно, в центр кривой. Такой вид распределения очень часто встречается в реальной жизни. Так как такое распределение является симметричным, то на каждую его сторону приходится по 50% значений элементов.